Question

如图，已知直线分别交轴、轴于、两点，抛物线经过、两点，点是抛物线与轴的另一个交点（与点不重合）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上求一点，使的周长最小，并求出最小周长和点的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标.

Answer

（1） ；(2) ；（3）存在，，，，.

【解析】

（1）由直线解析式可求得A、B两点的坐标，根据待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）连接BC，直线BC与对称轴的交点即为点P.求出直线BC的解析式，求出点P的坐标，即可求解.

（3）分MA=AB，MB=AB，MB=MA三种情况进行讨论.

【解析】
（1）直线

，

把A，B两点的坐标分别代入得：

∴抛物线的解析式为

(2)连接BC，直线BC与对称轴的交点即为点P.易求直线BC的解析式为，抛物线对称轴为直线，当P(-1，-2)时最小周长为.

（3）存在，理由如下：

抛物线的对称轴为：：

①当MA=AB时，∵OA=1，OB=3

,

②当MB=AB时， （不合题意）

,

③当MB=MA时，

,

故共存在四个点

.