Question

如图在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点的坐标为，平行于对角线的直线从原点出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线与菱形的两边分别交于点、，直线运动的时间为（秒）．

（1）求点的坐标；

（2）当时，求的值；

（3）设的面积为，求与的函数表达式，并确定的最大值．

Answer

（1）；

（2）或t=;

（3）S= ，当t=5时，S最大值=10.

【解析】

（1）过点C作CH⊥OA于H，由勾股定理求出OC，得出CB，即可得出结果；

（2）分两种情况：①当0≤t≤5时，由菱形的性质得出OA=AB=BC=OC=5，OC∥AB，再由平行线得出△OMN∽△OAC，得出比例式求出OM即可；

②当5≤t≤10时，设直线MN与OA交于点E．，同①可得AM= ，再证出△AEM∽△OAC．得出对应边成比例求出AM=AE，得出OE即可；

（3）分两种情况①当0≤t＜5时，求出△OAC的面积，再由相似三角形的性质得出 ，即可得出结果；

②当5≤t≤10时，过点M作MT⊥x轴于T，由△BMN∽△AME可知，MT=（t-5），得出S△OMN=S△ONE-S△OME=-（t-5）2+10，即可得出结果．

【解析】
（1）过点作于，如图1所示：

∵，

∴，，

∴，

∵四边形是菱形，

∴，，

∴点的坐标为；

（2）分两种情况：

当时，如图2所示：

∵四边形是菱形，

∴，.

∵，

∴，

∴.

∵，

∴

∴，

∴.

②当5≤t≤10时，如图3所示：

设直线MN与OA交于点E．，同①可得AM=．

∵OC∥AB，MN∥AC，

∴∠COA=∠MAE，∠CAO=∠MEA，

∴△AEM∽△OAC．

∴ ,

∵OC=OA，

∴AM=AE，

∴OE=OA+AE= ，

∴t=.

综上所述：

t=或t=；

（3）分两种情况：

①当0≤t＜5时（如图1），

S△OAC=OA•CH=10，

∵△OMN∽△OAC，

∴，即

∴S=t2（0≤t＜5）；

②当5≤t≤10时，过点M作MT⊥x轴于T，如图4所示：

由△BMN∽△AME可知，MT=（t-5），

∴S△OMN=S△ONE-S△OME=-（t−5）2+10；

综上所述：S= ，

∴当t=5时，S最大值=10．