Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），经过点的直线：与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．

（1）直接写出点的坐标，并用含的式子表示直线的函数表达式（其中、用含的式子表示）．

（2）点为直线下方抛物线上一点，当的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；

（3）设点是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，以点、、、为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）或.

【解析】

（1）令二次函数解析式为0，解一元二次方程即可得A、B的坐标，作DF⊥x轴于点F，根据平行线分线段定理可以求出点D的坐标，然后代入即可求一次函数解析式；

（2）点E作EH∥y轴，交直线l于点H，设出点E的坐标，则点H的坐标也可表示，HE即可求出，根据一次函数和二次函数的交点可求出点D的横坐标，然后再根据已知条件三角形ADE的面积最大时求出a的值，二次函数解析式即可求出；

（3）根据矩形的性质分两种情况讨论：①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时②若AD为矩形的边，且点Q在对称轴右侧时，求出即可.

【解析】
（1）令，则，

解得，

∵点在点的左侧，∴，

如图1，作轴于，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴点的横坐标为4，

代入得，，

∴，

把、坐标代入得，

解得，

∴直线的函数表达式为.

（2）如图2，过点作轴，交直线于点，

设，则.

∴，

由得或，

即点的横坐标为4，

∴ .

∴的面积的最大值为，

∴，

解得：.

∴抛物线的函数表达式为.

（3）已知，.

∵，

∴抛物线的对称轴为，

设，

①若为矩形的边，且点在对称轴左侧时，则，且，

则，

，则，

∵四边形为矩形，

∴，

∴，

∴ ，

即，

∵，

∴，

∴，

②若为矩形的边，且点在对称轴右侧时，则，且，

则，

此时点与点重合，不符合题意，舍去；

③若是矩形的一条对角线，则与互相平分且相等.

，，

∴，

∴.

∴

∴.

∵四边形为矩形，

∴

∴

∴

即，

∵，

∴

∴

综上所述，以点、、、为顶点的四边形能成为矩形，点的坐标为或.