Question

如图在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（3，4），平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与菱形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．

（1）求点B的坐标；

（2）当MN＝AC时，求t的值；

（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数表达式，并确定S的最大值．

Answer

（1）点B的坐标为（8，4）；（2）或；（3）；当t＝5时，S最大值＝10．

【解析】

（1）过点C作CH⊥OA于H，由勾股定理求出OC，得出CB，即可得出结果；

（2）分两种情况：①当0≤t≤5时，由菱形的性质得出OA＝AB＝BC＝OC＝5，OC∥AB．由平行线得出△OMN∽△OAC，得出比例式求出OM即可；

②当5≤t≤10时，设直线MN与OA交于点E．同①可得AM＝．再证出△AEM∽△OAC．得出对应边成比例求出AM＝AE，得出OE即可；

（3）分两种情况①当0≤t＜5时，求出△OAC的面积，再由相似三角形的性质得出，即可得出结果；

②当5≤t≤10时，过点M作MT⊥x轴于T，由△BMN∽△AME可知，MT＝（t﹣5），得出S△OMN＝S△ONE﹣S△OME＝ 即可得出结果．

【解析】
（1）过点C作CH⊥OA于H，如图1所示：

∵C （3，4），

∴CH＝4，OH＝3，

∴

∵四边形OABC是菱形，

∴CB＝OC＝5，5+3＝8，

∴点B的坐标为（8，4）；

（2）分两种情况：

①当0≤t≤5时，

如图2所示：

∵四边形OABC是菱形，

∴OA＝AB＝BC＝OC＝5，OC∥AB．

∵MN∥AC，

∴△OMN∽△OAC，

∴

∵

∴

∴

②当5≤t≤10时，如图3所示：

设直线MN与OA交于点E．，同①可得AM＝．

∵OC∥AB，MN∥AC，

∴∠COA＝∠MAE，∠CAO＝∠MEA，

∴△AEM∽△OAC．

∴

∵OC＝OA，

∴AM＝AE，

∴

∴

综上所述：或

（3）分两种情况：

①当0≤t＜5时（如图1），

∵△OMN∽△OAC，

∴，即

∴ （0≤t＜5）；

②当5≤t≤10时，过点M作MT⊥x轴于T，如图4所示：

由△BMN∽△AME可知，MT＝（t﹣5），

∴S△OMN＝S△ONE﹣S△OME＝

综上所述：

∴当t＝5时，S最大值＝10．