Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．

（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；

（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer

（1）A（﹣1，0），y＝ax+a；（2）y＝x2﹣x﹣；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．

【解析】

（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线l的函数表达式．

（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE＝S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可；

（3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．

【解析】
（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3

∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣1，0），

如图1，作DF⊥x轴于F，

∴DF∥OC，

∴,

∵CD＝4AC，

∴

∵OA＝1，

∴OF＝4，

∴D点的横坐标为4，

代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，

∴D（4，5a），

把A、D坐标代入y＝kx+b得

解得

∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．

（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，

设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）．

∴HE＝（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+3ax+4a，

由 得x＝﹣1或x＝4，

即点D的横坐标为4，

∴S△ADE＝S△AEH+S△DEH＝（﹣ax2+3ax+4a）

∴△ADE的面积的最大值为a，

∴

解得：,

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣

（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．

∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴抛物线的对称轴为x＝1，

设P（1，m），

①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，

则Q（﹣4，21a），

m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），

∵四边形ADPQ为矩形，

∴∠ADP＝90°，

∴AD2+PD2＝AP2，

∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，

即a2＝，

∵a＞0，

∴a＝，

∴P1（1，），

②若AD为矩形的边，且点Q在对称轴右侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，

则Q（4，5a），

此时点Q与点D重合，不符合题意，舍去；

③若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．

∴xD+xA＝xP+xQ，yD+yA＝yP+yQ，

∴xQ＝2，

∴Q（2，﹣3a）．

∴yP＝8a

∴P（1，8a）．

∵四边形APDQ为矩形，

∴∠APD＝90°

∴AP2+PD2＝AD2

∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2

即a2＝，

∵a＞0，

∴a＝

∴P2（1，4）

综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．