Question

已知：，OB、OC、OM、ON是内的射线．

如图1，若OM平分，ON平分当OB绕点O在内旋转时，则的大小为______；

如图2，若，OM平分，ON平分当绕点O在内旋转时，求的大小；

在的条件下，若，当在内绕着点O以秒的速度逆时针旋转t秒时，和中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值

Answer

（1）78°；（2）∠MON=66°；（3）当t=3或t=33时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍．

【解析】

（1）由角平分线的定义可得∠BOM∠AOB，∠BON∠BON，即可求∠MON的大小；

（2）由角平分线的定义可得∠COM∠AOC，∠BON∠BOD，即可求∠MON的大小；

（3）由题意可得∠AOC=54°+2t，∠AOM=27+t，∠BOD=126﹣2t，∠DON=63﹣t，分∠AOM=2∠DON，∠DON=2∠AOM两种情况讨论，列出方程可求t的值．

（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM∠AOB，∠BON∠BON．

∵∠MON=∠BOM+∠BON∠AOD，∴∠MON=78°．

故答案为：78°．

（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠COM∠AOC，∠BON∠BOD，∴∠MON=∠BON+∠COM﹣∠BOC∠AOC∠BOD﹣24°（∠AOC+∠BOD）﹣24°，∴∠MON（∠AOD+∠BOC）﹣24°180°﹣24°=66°．

（3）∵∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOC=54°+2t，∠AOM=27+t，∠BOD=126﹣2t，∠DON=63﹣t．

若∠AOM=2∠DON时，即27+t=2（63﹣t），∴t=33；

若2∠AOM=∠DON，即2（27+t）=63﹣t，∴t=3．

综上所述：当t=3或t=33时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍．