Question

已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足（a-1）²+|ab+3|=0，c=-2a+b．

（1）分别求a，b，c的值；

（2）若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时相向运动，设运动时间为t秒．

i）是否存在一个常数k，使得3BC-k•AB的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

ii）若点C以每秒3个单位长度的速度向右与点A，B同时运动，何时点C为线段AB的三等分点？请说明理由．

Answer

（1）1，-3，-5（2）i）存在常数m，m=6这个不变化的值为26，ii）11.5s

【解析】

（1）根据非负数的性质求得a、b、c的值即可；

（2）i）根据3BC-k•AB求得k的值即可；

ii）当AC=AB时，满足条件．

（1）∵a、b满足（a-1）2+|ab+3|=0，

∴a-1=0且ab+3=0．

解得a=1，b=-3．

∴c=-2a+b=-5．

故a，b，c的值分别为1，-3，-5．

（2）i）假设存在常数k，使得3BC-k•AB不随运动时间t的改变而改变．

则依题意得：AB=5+t，2BC=4+6t．

所以m•AB-2BC=m（5+t）-（4+6t）=5m+mt-4-6t与t的值无关，即m-6=0，

解得m=6，

所以存在常数m，m=6这个不变化的值为26．

ii）AC=AB，

AB=5+t，AC=-5+3t-（1+2t）=t-6，

t-6=（5+t），解得t=11.5s．