Question

如图，抛物线y＝ax²+bx+2与x轴相交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．

①求点D的坐标；

②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；

（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①点D的坐标为（3，﹣2），②四边形ADBC为矩形，理由见解析；（3）在该抛物线对称轴上存在点P，使△BMP与△BAD相似，点P的坐标为（，）或（，﹣）或（，5）或（，﹣5）．

【解析】

（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标．①过点D作DE⊥x轴于点E，根据旋转的性质可得出OA=EB、OC=ED，结合点A、B、O、C的坐标，即可找出点D的坐标；②由点A、B、C的坐标可得出OA、OC、OB的长度，利用勾股定理可求出AC、BC的长，由AC2+BC2=25=AB2可得出∠ACB=90°，再利用旋转的性质即可找出四边形ADBC为矩形；

（3）假设存在，设点P的坐标为（，m），由点M为AB的中点可得出∠BPD=∠ADB=90°，分△PMB∽△BDA及△BMP∽△BDA两种情况考虑，利用相似三角形的性质可得出关于m的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论．

（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，得：，解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．

（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，

∴点C的坐标为（0，2）．

①过点D作DE⊥x轴于点E，如图1所示．

∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，

∴OA＝EB，OC＝ED．

∵A（﹣1，0），O（0，0），C（0，2），B（4，0），

∴BE＝1，DE＝2，OE＝3，

∴点D的坐标为（3，﹣2）．

②四边形ADBC为矩形，理由如下：

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴OA＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，

∴AC＝，BC＝．

∵AC2+BC2＝25＝AB2，

∴∠ACB＝90°．

∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，

∴∠ABC＝∠BAD，BC＝AD，

∴BC∥AD且BC＝AD，

∴四边形ADBC为平行四边形．

又∵∠ACB＝90°，

∴四边形ADBC为矩形．

（3）假设存在，设点P的坐标为（，m）．

∵点M为AB的中点，

∴∠BPD＝∠ADB＝90°，

∴有两种情况（如图2所示）．

①当△PMB∽△BDA时，有，即，

解得：m＝±，

∴点P的坐标为（，）或（，﹣）；

②当△BMP∽△BDA时，有，即，

解得：m＝±5，

∴点P的坐标为（，5）或（，﹣5）．

综上所述：在该抛物线对称轴上存在点P，使△BMP与△BAD相似，点P的坐标为（，）或（，﹣）或（，5）或（，﹣5）．