Question

如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m(m＞1)，点E是AD边上一定点，且AE＝1．

(1)当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．

(2)如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．(不写作法，保留作图痕迹)

(3)对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？

Answer

（1）AF＝1或3；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

试题

（1）由题意可知，∠A=∠B=90°，由此可知要使△AEF与△BCF相似，存在两种情况：①当∠AEF＝∠BFC时，若，则两三角形相似；②当∠AEF＝∠BCF时， 若，则两三角形相似；由这两种情况分别根据已知条件进行计算即可得到相应的AF的值；

（2）如下图所示：①延长DA到E′，使AE′=AE，连接CE′交AB于点F1；②连接CE，以CE为直径作圆，分别交AB于点F2、F3；则F1、F2、F3为所求点；

（3）结合（1）（2）可知，当m=3时，符合条件的点F有2个，当m=4时，符合条件的点F也有2个，而当14时，以CE为直径的圆和AB相离，此时符合条件的点F只有1个.

试题解析：

（1）①当∠AEF＝∠BFC时，

要使△AEF∽△BFC，需，即，

解得AF＝1或3；

②当∠AEF＝∠BCF时，

要使△AEF∽△BCF，需＝，即，

解得AF＝1；

综上所述AF＝1或3

（2）如下图所示，图中F1、F2、F3为所求点；

（提示：延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连结CE′，交AB于点F1；连结CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3）；

（3）如（2）中所作图形，

当m=4时，由已知条件可得DE=3，则CE=5，即图中圆的直径为5，由梯形中位线定理可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离=2.5=所作圆的半径，F2和F3重合，即当m=4时，符合条件的F有2个；

当m>4时，图中所作圆和AB相离，此时F2和F3不存在了，即此时符合条件的F只有F11个；

而当1＜m＜4且m≠3时，由所作图形可知，符合条件的F有3个；

综上所述：可得：①当1＜m＜4且m≠3时，符合条件的F有3个； ②当m＝3时，符合条件的F有2个；③当m＝4时，符合条件的F有2个；④当m＞4时，符合条件的F有1个.