Question

如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB₁为边作等边三角形，得到第一个等边△AB₁C₁；再以等边△AB₁C₁的B₁C₁边上的高AB₂为边作等边三角形，得到第二个等边△AB₂C₂；再以等边△AB₂C₂的B₂C₂边上的高AB₃为边作等边三角形，得到第三个等边△AB₃C₃；…，记△B₁CB₂的面积为S₁，△B₂C₁B₃的面积为S₂，△B₃C₂B₄的面积为S₃，如此下去，则S_n=_____．

Answer

【解析】由AB1是边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出CB1的长，继而可得△B1CB2是有一个角为30度的直角三角形，同理可知△B2C1B3、△B3C2B4、△B4C3B5、…、都是有一个角为30度的直角三角形，而且后一个的斜边是前一个30度角所邻的直角边，由此即可求得Sn.

∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，

∴∠C=60°，CB1=BB1=1，

又∵∠B1B2C=90°，∴∠CB1B2=30°,

∴CB2=，B1B2=，∴S1=，

同理，Rt△B2C1B3中，B2C1=B1B2=，∴C1B3=×=，B2B3=，

∴S2=，

同理，S3=

…，

∴Sn=，

故答案为：．