Question

已知抛物线ykx²4kx3kk0与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.

（1）如图1，请求出A、B两点的坐标；

（2）点E为x轴下方抛物线ykx²4kx3kk0上一动点.

①如图2，若k=1时，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线BE交对称轴DH于点N，求MONH的值；

②如图3，若k2时，点F在x轴上方的抛物线上运动，连接EF交x轴于点G，且满足FBAEBA，当线段EF运动时，FGO的度数大小发生变化吗？若不变，请求出tanFGO的值；若变化，请说明理由.

Answer

（1）A(1,0)、B(3,0)；（2）①，②不会变化，4.

【解析】

（1）令ykx24kx3k=0，求得x1=1,x2=3,故A（1,0）B（3,0）

（2）①过点 E作 EK  x轴于点k ，设 E(m, m24m3)，易证BKE ∽ BHN , AKE ∽ AOM ，则，故,，求出NH  m 1, MO  m  3得；②过点 E 作 EN  x轴于点N，作FH  x轴于点H过点 E

作 EM  FH , 交 FH 的延长线于点 M，设 F (n,2n2  8n  6), E(a,2a2  8a  6)当n  3 时，不能满足FBA  EBA ,当 n  1，由FHB ∽ ENB，则，

故，得：n  a  2 ，

 8  2(n  a)  4为定值，即tan FGO 的值不变.

【解析】
（1）令ykx24kx3k=0，求得x1=1,x2=3,故A（1,0）B（3,0）

（2）① y  x24x3 ，如图 1 过点 E作 EK  x轴于点k ，

∵KE∥HN∥x轴，∴BKE ∽ BHN, AKE ∽ AOM ，设 E(m, m24m3)

，即：,

得： NH  m 1, MO  m  3

②不会变化。如图 2 过点 E 作 EN  x轴于点N，作FH  x轴于点H过点 E

作 EM  FH , 交 FH 的延长线于点 M，

设 F (n,2n2  8n  6), E(a,2a2  8a  6)当n  3 时，

不能满足FBA  EBA ,

当 n  1，FBAEBA，∴FHB ∽ ENB，则，

，

得： n  a  2

，

 8  2(n  a)  4

综上可知：当点 F 和 E 在抛物线上运动时， tan FGO 的值不会发生变化， 且tan FGO  4