Question

已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，

（1）如图1，若AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需要添加的条件是（只须写出两种不同情况）①　   　或②　   　．

（2）如图2，若AB为非直径的弦，∠CAE＝∠B，试说明EF是⊙O的切线．

Answer

(1)①EF⊥AB，②∠EAC＝∠B； (2)证明见解析.

【解析】

（1）添加条件EF⊥AB，根据切线的判定推出即可；添加条件∠EAC=∠B，根据直径推出∠CAB+∠B=90°，推出∠EAC+∠CAB=90°，根据切线判定推出即可；
（2）作直径AM，连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠EAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．

(1)添加的条件是①EF⊥AB，

理由是∵EF⊥AB，OA是半径，

∴EF是⊙O的切线；

②∠EAC＝∠B，

理由是：∵AB是⊙O的直径，

∴∠C＝90°，

∴∠B+∠CAB＝90°，

∵∠EAC＝∠B，

∴∠EAC+∠CAB＝90°，

∴EF⊥AB，

∵OA是半径，

∴EF是⊙O的切线；

(2)

作直径AM，连接CM，

即∠B＝∠M(在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等)，

∵∠EAC＝∠B，

∴∠EAC＝∠M，

∵AM是⊙O的直径，

∴∠ACM＝90°，

∴∠CAM+∠M＝90°，

∴∠EAC+∠CAM＝90°，

∴EF⊥AM，

∵OA是半径，

∴EF是⊙O的切线．