Question

某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

Answer

（1）z＝﹣2x2+136x﹣1800；（2）25元或43元；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；（3）648万元．

【解析】

（1）根据每月的利润z＝（x﹣18）y，再把y＝﹣2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，

（2）把z＝350代入z＝﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程即可，把函数关系式变形为顶点式运用二次函数的性质求出最值；

（3）根据销售单价不能高于32元，厂商要获得每月不低于350万元的利润得出销售单价的取值范围，进而解决问题．

（1）z＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800，

∴z与x之间的函数解析式为z＝﹣2x2+136x﹣1800；

（2）由z＝350，得350＝﹣2x2+136x﹣1800，

解这个方程得x1＝25，x2＝43，

所以，销售单价定为25元或43元，

将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z＝﹣2（x﹣34）2+512，

因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；

（3）结合（2）及函数z＝﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，

当25≤x≤43时z≥350，

又由限价32元，得25≤x≤32，

根据一次函数的性质，得y＝﹣2x+100中y随x的增大而减小，

∴当x＝32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）＝648（万元），

因此，所求每月最低制造成本为648万元．