Question

如图1，已知抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer

（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）， .

【解析】

（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：

①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．

②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．

③当CM＝CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；

（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；

（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），

∴，

解得：．

∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如答图1，

∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，

∴其对称轴为x＝＝﹣1，

∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3，

∴C（0，3），M（﹣1，0）

∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，

∴P点坐标为：P1（﹣1，）；

∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±，

∴P点坐标为：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；

∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，

∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．

综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；

（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：

如答图2，点C（0，3）关于对称轴x＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q．

设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．

将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，

解得，

所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．

将x＝﹣1代入，得y＝2，

即：Q（﹣1，2）；

（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）

∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a

∴S四边形BOCE＝BF•EF+（OC+EF）•OF

＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）

＝﹣a2﹣a+＝﹣（a+）2+，

∴当a＝﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为．

此时，点E坐标为（﹣ ，）．