Question

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）

A. ①②    B. ②③    C. ①③    D. ①④

Answer

D

【解析】

试题解析：∵AE=AB，

∴BE=2AE，

由翻折的性质得，PE=BE，

∴∠APE=30°，

∴∠AEP=90°﹣30°=60°，

∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°，

∴∠EFB=90°﹣60°=30°，

∴EF=2BE，故①正确；

∵BE=PE，

∴EF=2PE，

∵EF＞PF，

∴PF＜2PE，故②错误；

由翻折可知EF⊥PB，

∴∠EBQ=∠EFB=30°，

∴BE=2EQ，EF=2BE，

∴FQ=3EQ，故③错误；

由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°，

∴∠BFP=30°+30°=60°，

∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，

∴∠PBF=∠PFB=60°，

∴△PBF是等边三角形，故④正确；

综上所述，结论正确的是①④．

故选D．