Question

如图，在梯形ABCD中，DC//AB,∠A=90°，AD=6cm，DC=4cm，BC的坡度i=3:4，动点P从A出发以2cm/s的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．

（1）求边BC的长；

（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；

（3）连结PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

Answer

（1）BC=10；（2）秒时；PC与BQ相互平分；（3），当时，有最大值,为厘米2.

【解析】

（1）作CE⊥AB于E，根据坡度的定义进行求解；
（2）要使PC与BQ相互平分，只需保证四边形CPBQ是平行四边形，即可得到关于t的方程，进行求解；
（3）此题要分两种情况考虑：点Q在BC上，即时；当点Q在CD上，即根据三角形的面积公式建立函数关系式，再进一步求解．

【解析】
(1)作CE⊥AB于E,则四边形ADCE是矩形,

则CE=AD=6.

又BC的坡度i=CE:BE=3:4，且BE⊥CE，

则CE:BC=3:5，

则BC=10；

(2)要使PC与BQ相互平分,只需保证四边形CPBQ是平行四边形,即PB=CQ.

由(1)，得AB=4+8=12，则PB=12−2t.

则12−2t=3t−10，

t=4.4.

(3)当时,则BP=12−2t,

当t=3时，y最大，是16.2；

当时,则

则t=时，y取得最大值，是16.

综上所述，则当t=3时，y取得最大值，是16.2.