Question

如图，已知为直角三角形，，，点在轴上，点坐标为，线段与轴相交于点，以为顶点的抛物线过点．

（1）求点的坐标（用表示）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，试证明：为定值．

Answer

（1）点的坐标是；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）AO=AC-OC=m-3，用线段的长度表示点A的坐标；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m-3），又P（1，0）为抛物线顶点，可设顶点式，求解析式；
（3）设Q（x，x2-2x+1），过Q点分别作x轴，y轴的垂线，运用相似比求出FC、EC的长，而AC=m，代入即可．

（1）【解析】
由可知，，又为等腰直角三角形，

∴，，

∴点的坐标是；

（2）【解析】
∵，

∴,则点的坐标是，

又抛物线顶点为，且过点，

所以可设抛物线的解析式为：，

得 ，解得：，

∴抛物线的解析式为；

（3）证明：过点作于点，过点作于点，

设点的坐标是，

则，，

∵，

∴∽，

∴,即，

得，

∵，

∴∽，

∴,即，

得，

又∵，

∴，

即为定值8.