Question

如图，矩形的边，，点从点出发，沿射线移动，以为直径作圆，点为圆与射线的公共点，连接，过点作，与圆相交于点， 连接．

（1）试说明四边形是矩形；

（2）当圆与射线相切时，点停止移动，在点移动的过程中:

①矩形的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；

②求点移动路线的长．

Answer

（1）证明详见解析；（2）①最小值为；最大值为2；②cm．

【解析】

试题（1）只要证得三个内角等于90°即可；

（2）①应用三角函数可得，所以，然后只需求出CF的范围就可以求出的范围；

②根据圆周角定理和矩形的性质可证得∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点和终点，求出该线段的长度即可．

试题解析：（1）∵CE是⊙O的直径，点F、G在⊙O上，∴∠EFC=∠EGC=90°，

又∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°，∴四边形EFCG是矩形；

（2）①∵四边形EFCG是矩形，∴∠BCD=90°，∴，

∵∠CEF=∠BDC，∴=，即，∴，

∴，

∵当点F与点B重合时，CF=BC=4；

当⊙O与射线BD相切时，点F与点D重合，

此时CF=CD=3；

当CF⊥BD时，，

∴，

∴当CF=cm时，取得最小值为，

当CF=4cm时，取得最大值为2．

②如答图4，连接DG，并延长DG交BC得延长线与点G’．

∵∠BDG=∠FEG=90°，又∵∠DCG’=90°，∴点G得移动路线为线段DG’,

∵CD=3cm，∴CG’=，∴DG’=（cm）．