Question

如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点C；

（1）求c与b的函数关系式；

（2）点D为抛物线顶点，作抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BC交DE于F，若AE＝DF，求此二次函数解析式；

（3）在（2）的条件下，点P为第四象限抛物线上一点，过P作DE的垂线交抛物线于点M，交DE于H，点Q为第三象限抛物线上一点，作于N，连接MN，且，当时，连接PC，求的值．

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）把A（-1，0）代入y=x2-bx+c，即可得到结论；

（2）由（1）得，y=x2-bx-1-b，求得EO=，AE=+1=BE，于是得到OB=EO+BE=++1=b+1，当x=0时，得到y=-b-1，根据等腰直角三角形的性质得到D（，-b-2），将D（，-b-2）代入y=x2-bx-1-b解方程即可得到结论；

（3）连接QM，DM，根据平行线的判定得到QN∥MH，根据平行线的性质得到∠NMH=∠QNM，根据已知条件得到∠QMN=∠MQN，设QN=MN=t，求得Q（1-t，t2-4），得到DN=t2-4-（-4）=t2，同理，设MH=s，求得NH=t2-s2，根据勾股定理得到NH=1，根据三角函数的定义得到∠NMH=∠MDH推出∠NMD=90°；根据三角函数的定义列方程得到t1=，t2=-（舍去），求得MN=，根据三角函数的定义即可得到结论．

（1）把A（﹣1，0）代入，

∴，

∴；

（2）由（1）得，，

∵点D为抛物线顶点，

∴，

∴，

当时，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

将代入得，，

解得：，（舍去），

∴二次函数解析式为：；

（3）连接QM，DM，

∵，，

∴，∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，设，则，

∴，同理，

设，则，∴，

在中，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

∵，

∴，，

∵，

∴，即，

解得：，（舍去），

∴，

∵，

∴，

∴，

当时，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，，，

过P作于T，

∴，

∴，

∴．