Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S=AC•BD．

（1）写出正确结论的序号；

（2）证明所有正确的结论．

Answer

（1）正确结论是①④；（2）①结论正确；②结论不正确；③结论不正确；④结论正确；证明所有正确的结论见解析.

【解析】

①证明△ABC≌△ADC，可作判断；

②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；

④根据面积和求四边形的面积即可．

（1）正确结论是①④，

（2）①在△ABC和△ADC中，

∵，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠ABC=∠ADC，

故①结论正确；

②∵△ABC≌△ADC，

∴∠BAC=∠DAC，

∵AB=AD，

∴OB=OD，AC⊥BD，

而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，

故②结论不正确；

③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，

而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；

故③结论不正确；

④∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD•AO+BD•CO=BD•（AO+CO）=AC•BD．

故④结论正确；