Question

如图，边长为4的大正方形ABCD内有一个边长为1的小正方形CEFG，动点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B停止（不含点A和点B）．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t．

（1）小颖通过认真的观察分析，得出了一个正确的结论：当点P在线段DE上运动时，存在着“同底等高”的现象，因此当点P在线段DE上运动时△ABP的面积S始终不发生变化．

问：在点P的运动过程中，还存在类似的现象吗？若存在，请说出P的位置；若不存在，请说明理由．

（2）在点P的运动过程中△ABP的面积S是否存在最大值？若存在，请求出最大面积；若不存在，请说明理由．

（3）请写出S与t之间的关系式．

Answer

（1）在点P的运动过程中，还存在类似的现象，当点P在线段GF上运动时，存在着“同底等高”的现象，当点P在线段GF上运动时，△ABP的面积S始终不发生变化．（2）8；（3）①当点P在AD上时，S =2t（0＜t≤4），

②当点P在DE上时，S=8（4＜t≤7），

③当点P在EF上时，S=22-2t（7＜t≤8），

④当点P在GF上时，S=6（8＜t≤9），

⑤当点P在GB上时，S=24-2t（9＜t＜12）．

【解析】

（1）根据GF∥AB，可得当点P在线段GF上运动时，存在着“同底等高”的现象，即当点P在线段GF上运动时，△ABP的面积S始终不发生变化．

（2）当点P在线段DE上运动时，AB边上的高为4，据此可得△ABP的面积S最大值为：AB×AD=×4×4=8；

（3）分5种情况进行讨论：①当点P在AD上时，②当点P在DE上时，③当点P在EF上时，④当点P在GF上时，⑤当点P在GB上时，分别根据△ABP的面积计算方法，得出S与t之间的关系式．

（1）在点P的运动过程中，还存在类似的现象．

∵∠ABG+∠BGF=180°，

∴GF∥AB，

∴当点P在线段GF上运动时，存在着“同底等高”的现象，

∴当点P在线段GF上运动时，△ABP的面积S始终不发生变化；

（2）∵△ABP中，AB的长不变，

∴当AB边上的高最大时，△ABP的面积S存在最大值，

故当点P在线段DE上运动时，AB边上的高为4，

∴△ABP的面积S最大值为：AB×AD=×4×4=8；

（3）分5种情况：

①当点P在AD上时，S=×4×t=2t（0＜t≤4），

②当点P在DE上时，S=×4×4=8（4＜t≤7），

③当点P在EF上时，S=×4×[4-（t-7）]=2（11-t）=22-2t（7＜t≤8），

④当点P在GF上时，S=×4×3=6（8＜t≤9），

⑤当点P在GB上时，S=×4×[4-（t-8）]=2（12-t）=24-2t（9＜t＜12）．