Question

如图，抛物线y=ax²+bx的顶点为P（2，4），直线y=x与抛物线交于点A．抛物线与x轴的另一个交点是点B.

（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；

（2）求四边形APOB的面积；

（3）M是抛物线上位于直线y=x上方的一点，当点M的坐标为多少时，△MOA的面积最大？

Answer

(1)y=-x2+4x，A( ，)；（2）；（3）M（， ）.

【解析】

（1）因为顶点为P（2，4），所以带入顶点坐标公式就可以求得解析式；抛物线的解析式和直线解析式联立组成方程组，即可求出点A的坐标；

（2）把四边形APOB的面积分割成两个直角三角形和直角梯形；

（3）作MN∥y轴，交OA于点N，设M（m,-m2+4m），则N（m，m），所以MN=-m2+4m-m=-m2+m，可得：S△MOA=××（-m2+m）=-m2+m，根据抛物线开口向下，所以面积有最大值得解.

【解析】
（1）由题意得： ，解得

∴y=-x2+4x

∵直线y=x与抛物线交于点A ，

∴ 解得 ，，即A( ，)

（2）∵y=-x2+4x与x轴的另一个交点是点B.

∴y=0代入解析式得：-x2+4x=0，

解得x1=0 ， x2=4，∴点B的坐标是（4,0）

∴S四边形APOB=×2×4+ (4+)×（-2）+×（4-）×=

（3）如图，作MN∥y轴，交OA于点N，设M（m,-m2+4m），则N（m，m）

∴MN=-m2+4m-m=-m2+m

∴S△MOA=××（-m2+m）=-m2+m.

∵-<0，开口向下，

∴当m= -= 时，S△MOA最大，

即M（， ）