Question

如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E为优弧AB上一点，连接AE、BE、AC，过点C的直线与EA延长线交于点F，且∠ACF=∠AEB.

（1）求证：CF与⊙O相切；

（2）若∠AEB=60°，AB=4，求⊙O的半径；

（3）在（2）的条件下，若AE=4，求EC的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）4；（3）2+2．

【解析】

（1）根据垂径定理得到弧AC=弧BC，求得∠FEC=∠BEC=∠AEB，等量代换得到∠ACF=∠BEC，推出AB∥CF，于是得到结论；
（2）连接OA，根据圆周角定理得到∠AEC=30°，求得∠AOD=2∠AEC=60°，解直角三角形的即可得到结论；
（3）连接OE，过A作AH⊥CE于H，根据勾股定理的逆定理得到∠AOE=90°，根据圆周角定理得到∠ACE=∠AOE=45°，解直角三角形即可得到结论．

（1）证明：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴弧AC=弧BC，
∴∠FEC=∠BEC=∠AEB，
∵∠ACF=∠AEB，
∴∠ACF=∠BEC，
∵∠BAC=∠BEC，
∴∠ACF=∠CAB，
∴AB∥CF，
∵OC⊥AB，
∴OC⊥CF，
∴CF与⊙O相切；
（2）【解析】
连接OA，
∵∠AEB=60°，
∴∠AEC=30°，
∴∠AOD=2∠AEC=60°，
∴在Rt△AOD中，AD=AB=2，∠AOD=60°，
∴OA==4，
∴⊙O的半径为4；
（3）【解析】
连接OE，过A作AH⊥CE于H，

∵OE2+OA2=42+42=32=（4）2=AE2，
∴∠AOE=90°，
∴∠ACE=∠AOE=45°，
在Rt△AEH中，∵∠AEH=30°，AE=4，
∴AH=2，EH=2，
在Rt△AHC中，∵∠ACH=45°，
∴CH=AH=2，
∴CE=CH+EH=2+2．