Question

如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，BC=3，边AD在x轴上，点C在y轴上，点D坐标为（2，0），直线l：y=-2x-10经过点A、B.

（1）求四边形ABCD的面积；

（2）将直线l向右平移，平移后的直线与x轴交于点P，与直线BC交于点Q，设AP=t.直线l在平移过程中，是否存在t的值，使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

（3）将直线l绕点A旋转，当直线l将四边形ABCD的面积分为1:3两部分时，请直接写出l与BC的交点M的坐标.

Answer

（1）20；（2）存在，t=2、3或7±2 ；（3）M1(-，-4)，M2(，-4) ．

【解析】

（1）根据函数解析式得到OA=5，求得AD=7，得到OC=4，于是得到结论；（2）需要分类讨论，要使△PDQ为等腰三角形，需分三种情况进行计算验证；（3）直线l将四边形ABCD的面积分为1:3两部分时，也是需要分类讨论，即直线l左侧部分面积：右侧部分面积=1:3和线l右侧部分面积：左侧部分面积=1:3，再结合相似三角形的判定和性质，三角形面积计算即可解答.

【解析】
（1）在y=-2x-10中，当y=0时，x=-5，
∴A（-5，0），
∴OA=5，
∴AD=7，
把x=-3代入y=-2x-10得，y=-4，
∴OC=4，
∴四边形ABCD的面积=（3+7）×4=20；
故答案为：20；

（2）存在，理由如下：

∵四边形ABQP是平行四边形，∴PQ2=AB2=42+22=20，PD2=(7-t)2，DQ2=42+(5-t)2，

①当PQ2= PD2时，即20=(7-t)2，

解得：t1=7+2 , t2=7-2;

②当PQ2= DQ2时，即20=42+(5-t)2，

解得：t1=7（∵AD=7，∴t1=7时，P,D点重合，不符合题意，舍去） , t2=3;

③当PD2= DQ2时，即(7-t)2=42+(5-t)2，

解得：t=2，

综上所述：当t=2，3或7±2 时，△PDQ为等腰三角形；

（3）①如图：当点M在线段BC上时，即直线l左侧部分面积：右侧部分面积=1:3，

∴S△ABM=S四边形ABCD=5 ，∵OC=4，∴BM上的高hBM=4,

∴S△ABM=×BM×hBM=5，即×BM×4=5，解得BM=，

∴CM=BC-BM=3-=,

又∵BC∥x轴，C(0，-4)，M点在第三象限，

∴M点的坐标为M1(- ，-4)；

②如图：∵AD=7，OC=4，∴△ACD的面积=7×4÷2=14>5,

∴当直线l右侧部分面积：左侧部分面积=1:3时，点M就在点C的右侧，设此时AM与CD的交点为点N，△AND中AD边的高为hAD，△CNM中CM边的高为hCM，

此时：S△AND=×AD×hAD=5，即×7×hAD=5，解得：hAD=，

∵AD∥CM，AD=7，OC=4， CM上的高hCM =4- =， ∴△AND∽△MNC，

∴AD:CM= hAD: hCM,即：7：CM=:，解得：CM=,

∴M点的坐标为M1( ，-4)；