Question

如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）。

   

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接，，，试证明为直角三角形；

（3）若点在抛物线上，轴于点，以、、为顶点的三角形与相似，试求出所有满足条件的点的坐标。

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）所有满足条件的点的坐标为或或

【解析】

（1）根据二次函数顶点坐标公式得到关于b，c的方程组，然后求解方程组即可；

（2）先求得A点坐标，再利用两点的距离公式求得△ACD的边长，然后根据勾股定理的逆定理即可得证；

（3）设，分两种情况讨论：①若，则；②若，则；分别代入求得符合题意的x的值即可得解.

【解析】
（1）由题意得，解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）令，解得或，

由题意点，

∴，，，

∴，

∴为直角三角形；

（3）设，分两种情况讨论：

①若，如图1，

则，即，

整理，得，

解得，（与点重合，舍去），

当时，，

∴此时，点的坐标为；

②若，如图2，

则，即，

整理，得，解得，，

当时，；当时，，

∴此时，点的坐标为或；

综上所述，所有满足条件的点的坐标为或或.