Question

如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．

（1）求证：∠ACD=∠B；

（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；

①求tan∠CFE的值；

②若AC=3，BC=4，求CE的长．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题（1）连接OC，根据切线的性质、直径所对的圆周角是直角及等角的余角相等即可证明结论．

（2）①由∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，即可得∠CEF=∠CF，再由∠ECF=90°，可得∠CEF=∠CFE=45°，即可得结论．

②由勾股定理可求得AB=5，根据已知易证△DCA∽△DBC，得，设DC=3k，DB=4k，由CD2=DA•DB，得9k2=（4k﹣5）•4k，由此求出DC，DB，再由△DCE∽△DBF，得，设EC=CF=x，列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC．

∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∵CD是⊙O切线，

∴OC⊥CD，

∴∠DCO=90°，

∴∠3+∠2=90°，

∵AB是直径，

∴∠1+∠B=90°，

∴∠3=∠B．

（2）【解析】
①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，

∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，

∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，

∴∠CEF=∠CFE=45°，

∴tan∠CFE=tan45°=1．

②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，

由勾股定理得AB=5，

∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，

∴△DCA∽△DBC，

∴，设DC=3k，DB=4k，

∵CD2=DA•DB，

∴9k2=（4k﹣5）•4k，

∴k=，

∴CD=，DB=，

∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，

∴△DCE∽△DBF，

∴，设EC=CF=x，

∴，

∴x=．

∴CE=．