Question

（2009•江西）如图，抛物线y=﹣x²+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．

Answer

（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1．

（2）①当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．②S=﹣m2+m（0≤m≤3）．

【解析】

试题（1）已知了抛物线的解析式，当y=0时可求出A，B两点的坐标，当x=0时，可求出C点的坐标．根据对称轴x=﹣可得出对称轴的解析式．

（2）PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长．

根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．

（3）可将三角形BCF分成两部分来求：

一部分是三角形PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．

一部分是三角形PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形PFB的面积．

然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式．

【解析】
（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．

抛物线的对称轴是：直线x=1．

（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．

把B（3，0），C（0，3）分别代入得：

解得：．

所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．

当x=1时，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2）．

当x=m时，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3）．

在y=﹣x2+2x+3中，当x=1时，y=4．

∴D（1，4）

当x=m时，y=﹣m2+2m+3，

∴F（m，﹣m2+2m+3）

∴线段DE=4﹣2=2，

线段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m

∵PF∥DE，

∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．

由﹣m2+3m=2，

解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．

因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．

②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），

可得：OB=OM+MB=3．

∵S=S△BPF+S△CPF

即S=PF•BM+PF•OM=PF•（BM+OM）=PF•OB．

∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0≤m≤3）．