Question

在平面直角坐标系xOy中有一点，过该点分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别是A、B，若由该点、原点O以及两个垂足所组成的长方形的周长与面积的数值相等，则我们把该点叫做平面直角坐标系中的平衡点．

请判断下列各点中是平面直角坐标系中的平衡点的是______；填序号

，.

若在第一象限中有一个平衡点恰好在一次函数为常数的图象上．

求m、b的值；

一次函数为常数与y轴交于点C，问：在这函数图象上，是否存在点使，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

经过点，且平行于x轴的直线上有平衡点吗？若有，请求出平衡点的坐标；若没有，说明理由．

【答案】（1）②；（2）①，，②存在，M的坐标为或；（3）没有，见解析.

【解析】

根据平衡点的定义，逐一验证A，B两点是否为平衡点，此题得解；

由平衡点的定义，可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b值；

存在，设设点M的坐标为，利用三角形的面积公式结合，可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入点M的坐标中即可求出结论；

没有，设平衡点的坐标为，利用平衡点的定义可得出，即，由，可得出：经过点，且平行于x轴的直线上没有平衡点．

【解析】
，

不是平衡点；

，

是平衡点．

故答案为：．

点为平衡点，且在第一象限，

，

解得：，

点N的坐标为．

点在一次函数为常数的图象上，

，

解得：．

，．

存在，设点M的坐标为．

，即，

解得：，

点M的坐标为或．

没有，理由如下：

设平衡点的坐标为，

则，

，即．

，

经过点，且平行于x轴的直线上没有平衡点．

【点睛】

本题考查了长方形的周长、长方形的面积、解一元一次方程、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是：利用平衡点的定义逐一验证点A，B是否为平衡点；利用平衡点的定义及一次函数图象上点的坐标特征，求出m，b的值；利用三角形的面积公式结合，找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程；利用平衡点的定义找出．

【题型】解答题
【结束】
24

直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动。

（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明变化的情况；若不发生化,试求出∠AEB的大小；

（2）如图2，AB不平行CD，DE、CE分别平分∠ADC、∠BCD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，AD、BC的延长线交于点F，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否发生变化?若发生变化,请说明变化情况；若不发生变化，求出∠CED的大小；

（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数.

Answer

（1）∠AEB=135°；（2）∠E=67.5°；（3）∠ABO为60°或45°．

【解析】

根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知，再由AE、BE分别是和的角平分线得出，，由三角形内角和定理即可得出结论；

延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出，进而得出，故，再由AD、BC分别是和的角平分线，可知，，由三角形内角和定理可知，再根据DE、CE分别是和的角平分线可知，进而得出结论；

由与的角平分线相交于E可知，，进而得出的度数，由AE、AF分别是和的角平分线可知，在中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．

【解析】
的大小不变，

直线MN与直线PQ垂直相交于O，

，

，

、BE分别是和角的平分线，

，，

，

；

的大小不变．

延长AD、BC交于点F．

直线MN与直线PQ垂直相交于O，

，

，

，

、BC分别是和的角平分线，

，，

，

，

，

，

、CE分别是和的角平分线，

，

；

与的角平分线相交于E，

，，

，

、AF分别是和的角平分线，

在中，

有一个角是另一个角的3倍，故有：

，，；

，，；

，，；

，，．

为或．

故答案为：或．