Question

在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线的图象经过点、，设它与轴的另一个交点为（点在点的左侧），且的面积是3．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）求的正切值；

（3）若抛物线与轴交于点，直线交轴于点，点在射线上，当与相似时，求点的坐标．

Answer

(1)；(2)；（3）或

【解析】

（1）设A(m,0)，由△ABD的面积是3可求得m=2，再利用待定系数法求解可得；

（2）作DF⊥x轴，BF⊥AD，由A,B,D坐标知DF=AF=3，据此可求得，∠DAF=45°，继而可得，，再依据正切函数的定义求解可得；

（3）先求出直线AD解析式为y=x-2，直线BD解析式为y=3x-12，直线CD解析式为y=-x+8，①△ADB∽△APE时BD∥PE，此条件下求得PE解析式，连接直线PE和直线AD解析式所得方程组，解之求得点P坐标；②△ADB∽△AEP时∠ADB=∠AEP，依据求解可得．

解:（1）设，

则，

由的面积是3知，

解得，

∴，

设抛物线解析式为，

将代入得:，解得，

∴；

（2）如图1，过点作轴于点，

∵，，，

∴，，

则，，

过点作于，

则，

∴，

∴；

（3）如图2，

由，得直线解析式为，

由，可得直线解析式为，

由，可得直线解析式为，

当时，，解得，

∴，

①若，则，

∴，

设所在直线解析式为，

将点代入得，解得，

∴直线解析式为，

由得，

∴此时点；

②若，则，

∴，

设，过点作于点，

则，，

∴，

由求得，

∴；

综上，或．