Question

如图，在正方ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为O，交AC于点F，交AD于点G．

（1）证明：BE＝AG；

（2）E位于什么位置时，∠AEF＝∠CEB？说明理由．

Answer

(1)见解析；（2）当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB ,理由见解析

【解析】

(1) 根据正方形的性质利用ASA判定△GAB≌△EBC，根据全等三角形的对应边相等可得到AG=BE；

(2) 利用SAS判定△GAF≌△EAF，从而得到∠AGF=∠AEF，由△GAB≌△EBC可得到∠AGF=∠CEB,则∠AEF=∠CEB．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形

∴∠ABC=∠BAD=90°，∴∠1+∠3=90°，

∵BG⊥CE,∴∠BOC=90°∴∠2+∠3=90°,

∴∠1=∠2,

在△GAB和△EBC中，

∵∠GAB=∠EBC=90°,AB=BC,∠1=∠2,

∴△GAB≌△EBC (ASA) ,

∴AG=BE;

（2）【解析】
当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB ,

理由如下：若当点E位于线段AB中点时，则AE=BE,

由（1）可知，AG=BE,

∴AG=AE,

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠GAF=∠EAF=45°,

又∵AF=AF,

∴△GAF≌△EAF (SAS),

∴∠AGF=∠AEF,

由（1）知，△GAB≌△EBC,

∴∠AGF=∠CEB,

∴∠AEF=∠CEB.