Question

（12分）矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到如图所示的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4．

（1）求AD的长；

（2）求阴影部分的面积和直线AM的解析式；

（3）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（4）在抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）7；（2）16，；（3）；（4）P（3，1）、（，）、（，）、（，）．

【解析】

试题（1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，由旋转的性质得AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，得到∠ABP=∠MBQ，可证明Rt△ABP∽Rt△MBQ得到，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，所以BM=x+y﹣2，利用比例性质得到PB•MQ=xy，而PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，利用完全平方公式和勾股定理解得x+y=7，则BM=5，BE=BM+ME=7，所以AD=7；

（2）由AB=BM可得到Rt△ABP≌Rt△MBQ，则BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，利用勾股定理可得到MQ=3，则BQ=4，根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM进行计算即可；然后利用待定系数法求直线AM的解析式；

（3）先确定B（3，1），然后利用待定系数法求抛物线的解析式；

（4）设P（x，y），则点P（x，y）到直线AM的距离为：=，而AM=，由=AM•d==，得到，由，得到，即或，解方程即可得到点P的坐标．

试题解析：（1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，∵矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转得到矩形ABEF，∴AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，∵∠PBQ=90°，∴∠ABP=∠MBQ，∴Rt△ABP∽Rt△MBQ，∴，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，BM=x+y﹣2，∴，∴PB•MQ=xy，∵PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，∴，即，∴，解得x+y=7，∴BM=5，∴BE=BM+ME=5+2=7，∴AD=7；

（2）∵AB=BM，∴Rt△ABP≌Rt△MBQ，∴BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，∵，∴，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，∴BQ=7﹣3=4，∴S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM=×（4+7）×4﹣×4×3=16；

设直线AM的解析式为，把A（0，5），M（7，4）代入得：，解得：，∴直线AM的解析式为；

（3）设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为，∵AP=MQ=3，BP=DQ=4，∴B（3，1），而A（0，5），D（7，5），∴，解得：，∴经过A、B、D三点的抛物线的解析式为；

（4）存在．∵A（0，5），M（7，4），∴AM=，设P（x，y），则点P（x，y）到直线AM的距离为：=，∵=AM•d==，∴，∵，∴，∴或，

由，解得：，，此时P点坐标为（3，1）、（，）；

由，解得：，此时P点坐标为（，）、（，）；

综上所述，点P的坐标为（3，1）、（，）、（，）、（，）．