Question

如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE=∠BCF，BF=DE，∠A=60°，连接EF．

（1）若EF=2，求△AEF的面积；

（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．

Answer

（1） （2）证明见解析

【解析】（1）先证明△CDE≌△CBF，得到CD=CB，可得▱ABCD是菱形，则AD=AB，由DE=BF得AE=AF，则△AEF是等边三角形，根据EF的长可得△AEF的面积；

（2）延长DP交BC于N，连结FN，证明△CPN≌△EPD，得到AE=BN，证明△FBN≌△DEF，得到FN=FD，根据等腰三角形三线合一的性质可得结论．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠D=∠B，

∵BF=DE，∠DCE=∠BCF，

∴△CDE≌△CBF（AAS），

∴CD=CB，

∴▱ABCD是菱形，

∴AD=AB，

∴AD﹣DE=AB﹣BF，即AE=AF，

∵∠A=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∵EF=2，

∴S△AEF=×22=；

（2）证明：如图2，延长DP交BC于N，连结FN，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠EDP=∠PNC，∠DEP=∠PCN，

∵点P是CE的中点，

∴CP=EP．

∴△CPN≌△EPD，

∴DE=CN，PD=PN．

又∵AD=BC．

∴AD﹣DE=BC﹣CN，即AE=BN．

∵△AEF是等边三角形，

∴∠AEF=60°，EF=AE．

∴∠DEF=120°，EF=BN．

∵AD∥BC，

∴∠A+∠ABC=180°，

又∵∠A=60°，

∴∠ABC=120°，

∴∠ABC=∠DEF．

又∵DE=BF，BN=EF．

∴△FBN≌△DEF，

∴DF=NF，

∵PD=PN，

∴PF⊥PD．