Question

如图，两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，∠DEA＝∠ACB＝90°，∠DAE＝∠ABC＝30°，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．

Answer

△EMC的形状是等腰直角三角形，理由见解析；

【解析】

△EMC的形状是等腰直角三角形，求出∠DAB＝90°，AD＝AB，推出AM⊥BD，AM＝BM＝DM，求出∠MBC＝∠MAE，BM＝AM，证△BCM≌△AEM，推出EM＝CM，∠3＝∠2，求出∠1+∠3＝90°即可．

△EMC的形状是等腰直角三角形，

理由是：

连接AM，

∵∠8＝30°，∠9＝60°，

∴∠DAB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

∵M为BD中点，AD＝AB（已知两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起），

∴AM⊥BD（等腰三角形底边的高也平分底边），

AM＝BM＝DM（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），

∴∠5＝∠6＝（180°﹣90°）＝45°，∠4＝∠BDA＝45°，

∵∠7＝30°，

∴∠MBC＝45°+30°＝75°，

同理∠MAE＝75°＝∠MBC，

在△BCM和△AEM中，

，

∴△BCM≌△AEM（SAS），

∴EM＝CM，∠3＝∠2，

∵AM⊥BD，

∴∠1+∠2＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，

∴△EMC是等腰直角三角形．