Question

如图所示，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD于F．

（1）求证：CE＝CF；

（2）延长AD、EF交于点H，延长BA到G，使AG＝CF，若AD＝7，DF＝3，EH＝2AE，求GF的长．

Answer

（1）见解析；（2）GF＝4.

【解析】

（1）由题意可得：∠DAE＝∠BAE＝∠AEB＝∠BAD＝∠C，则∠C+∠FEC＝90°，根据三角形内角和可得∠C+∠EFC＝90°，则∠CEF＝∠CFE，即可得结论；

（2）连接AC，作AP⊥BC于P，由题意可求AB＝BE＝CD＝5，CE＝CF＝2，即可求DH＝3，根据勾股定理可求AE的长，根据勾股定理可列出方程，可求出 BP，AP，PE，PC的长度，再根据勾股定理可求AC的长，由题意可证AC＝GF，即可得GF的长．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD＝∠C，AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵AE平分∠DAB，

∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，

∴∠BAE＝∠AEB＝∠BAD，

∴AB＝BE，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝90°，

∴∠AEB+∠FEC＝90°，即∠BAD+∠FEC＝90°，

∴∠C+∠FEC＝90°，

∵∠C+∠FEC+∠EFC＝180°，

∴∠C+∠EFC＝90°，

∴∠EFC＝∠FEC，

∴CE＝CF；

（2）如图连接AC，作AP⊥BC于P，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC＝7，AB∥CD，

∵CE＝CF，

∴BC﹣BE＝CD﹣DF，且AB＝BE＝CD，

∴7﹣AB＝AB﹣3，

∴AB＝5＝BE＝CD，

∴CE＝CF＝2，

∵AD∥BC，

∴∠H＝∠FEC，且∠FEC＝∠EFC，∠DFH＝∠EFC，

∴∠H＝∠DFH，

∴DH＝DF＝3，

∴AH＝10，

在Rt△AEH中，AH2＝AE2+EH2，且EH＝2AE，

∴5AE2＝100，

∴AE＝2，

在Rt△ABP和Rt△APE中，

AP2＝AB2﹣BP2，AP2＝AE2﹣PE2．

∴AB2﹣BP2＝AE2﹣PE2．

∴25﹣BP2＝20﹣（5﹣BP）2．

∴BP＝3，

∴AP＝4，PE＝2，PC＝4，

在Rt△APC中，AC＝＝4，

∵AB∥CD，AG＝CF，

∴四边形AGFC是平行四边形，

∴GF＝AC＝4.