Question

如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；

（3）点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．

Answer

（1）；（2）存在．当时，有最大值为；（3）点坐标为或或或．

【解析】

（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）设，则，则，根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）先求出抛物线的对称轴为直线得到，讨论：当时，则，利用平行四边形的性质得，从而得到此时点坐标；当时，由于点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，所以点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，设，则，然后把代入得，则解方程求出得到此时点坐标．

【解析】
（1）抛物线经过点，点，

，解得，

抛物线的解析式为；

（2）存在．

当，解得，则，

设，则，

，

，

，

当时，有最大值为；

（3）抛物线的对称轴为直线，

，

当时，则，

以为顶点的四边形是平行四边形，

，

点坐标为或

当时，

以为顶点的四边形是平行四边形，

，

点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，

点向右平移个单位，向下平移个单位得到点，

设，则，

把代入得，解得，

此时点坐标为，

综上所述，点坐标为或或或．