Question

如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

出发2秒后，求的面积；

当t为几秒时，BP平分；

问t为何值时，为等腰三角形？

Answer

(1)18；（2）当秒时，BP平分；（3）或13s或12s或 时为等腰三角形．

【解析】

（1）利用勾股定理得出AC=8cm，进而表示出AP的长，进而得出答案；

（2）过点P作PD⊥AB于点D，由HL证明Rt△BPD≌Rt△BPC，得出BD=BC=6cm，因此AD=10﹣6=4cm，设PC=x cm，则PA=（8﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（3）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．

（1）如图1．

∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴AC=8cm，根据题意可得：PC=2cm，则AP=6cm，故△ABP的面积为：×AP×BC=×6×6=18（cm2）；

（2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D．

∵BP平分∠CBA，∴PD=PC．

在Rt△BPD与Rt△BPC中，，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD=BC=6 cm，∴AD=10﹣6=4 cm．

设PC=x cm，则PA=（8﹣x）cm

在Rt△APD中，PD2+AD2=PA2，即x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，∴当t=3秒时，BP平分∠CBA；

（3）如图3，若P在边AC上时，BC=CP=6cm，此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；

若P在AB边上时，有3种情况：

①如图4，若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；

②如图5，若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP=7.2cm，所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm，∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；

③如图6，若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC．

∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC，∴PA=PB=5cm

∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．

综上所述：当t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形．