Question

如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，AD交⊙O于点E，AC平分∠BAD，连接BE．

（1）求证：CD⊥ED；

（2）若CD=4，AE=2，求⊙O的半径．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）⊙O的半径为．

【解析】

（Ⅰ）连接OC，根据CD切⊙O于点C得出OC⊥DC，由OA=OC，得出∠OAC=∠OCA，则可证明∠OCA=∠DAC，证得OC∥AD，根据平行线的性质即可证明；
（Ⅱ）根据圆周角定理证得∠AEB=90°，根据垂径定理证得EF=BF，进而证得四边形EFCD是矩形，从而证得BE=8，然后根据勾股定理求得AB，即可求得半径．

【解析】
（Ⅰ）证明：连接OC，交BE于F，由DC是切线得OC⊥DC；

又∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC＝∠OAC．

∴∠OCA＝∠DAC，

∴OC∥AD，

∴∠D＝∠OCD＝90°

即CD⊥ED．

（Ⅱ）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，

∵∠D＝90°，∴∠AEB＝∠D，

∴BE∥CD，

∵OC⊥CD，∴OC⊥BE，

∴EF＝BF，

∵OC∥ED，

∴四边形EFCD是矩形，

∴EF＝CD＝4，∴BE＝8，

∵AE＝2，

∴AB＝＝＝2

∴⊙O的半径为．