Question

如图1，两个全等的△ABC和△DEF中，∠ACB＝∠DFE＝90°，AB＝DE，其中点B和点D重合，点F在BC上，将△DEF沿射线BC平移，设平移的距离为x，平移后的图形与△ABC重合部分的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示（其中0≤x≤m，m＜x≤3，3＜x≤4时，函数的解析式不同）

（1）填空：BC的长为　   　；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer

（1）4；（2）y=.

【解析】

试题

（1）结合图1、图2分析可知，当x=4时，y=0，说明此时，点B运动到了点C，两三角形五重叠部分，从而可得BC=4；

（2）分析图1、图2中的信息可知：当DE经过点A时（如图3），BD=x=3，CD=1，通过证△ADC∽△BAC可求得AC=2=DF；分析图1、图2可知当点F与点C重合时（如图4），BD=x=m=BC-DF=4-2=2；这样可得：三段函数对应的自变量的取值范围分别是：①；②；③；按照这三段自变量的取值范围参照图5、如6、图7结合已知条件分析即可求得对应的函数关系式，最好综合即可.

试题解析：

（1）由图2得当x=4时，y=0，说明此时△DEF与△ABC无重合部分，

则点D从B到C运动的距离为4，即BC=4；

（2）如图3，当DE经过点A时，由图2中的信息可知，此时BD=x=3，CD=BC-BD=1，

∵△ABC≌△DEF．

∴∠EDF=∠BAC．

∵∠ACD=∠BCA

∴△ADC∽△BAC．

∴，即．解得：AC=2，

∴DF=AC=2.

分析图1、图2可知当点F与点C重合时（如图4），BD=x=m=BC-DF=4-2=2.

∴三段函数对应的自变量的取值范围分别是：①；②；③；

①当0≤x≤2时（如图5），

设ED、EF与AB分别相交于点M，G，作MN⊥BC，垂足为N．

则∠MNB=90°=∠EFD=∠C．

∵∠MDN=∠EDF．

∴△DMN∽△DEF．

∴，即．

∴MN=2DN．

设DN=n，则MN=2n．

同理△BMN∽△BAC．

∴．即，

∴BN=4n，即x+n=4n．

∴n=x．

∴S△BDM=•BD•MN=

同理△BGF∽△BAC

∴，即．

∴GF=(x+2)，

∴y=S△BGF﹣S△BDM=（x+2）×（x+2）-=﹣x2+x+1．

②当2＜x≤3时（如图6），

由①知，S△BDM=x2．

∴y=S△ABC﹣S△BDM=×2×4-x2=﹣x2+4

③当3＜x≤4时（如图7），

设DE与AB相交于点H，则：△DHC∽△DEF．

∴，即

∴HC=24﹣x．

∴y==x2﹣8x+16，

综上所述，可得y关于x的函数关系式为：

y=．