Question

如图，经过正方形ABCD的顶点A在其外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F．

（1）依题意补全图1．

（2）若∠PAB＝30°，求∠ADF的度数．

（3）如图，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．

Answer

（1）见解析；（2）∠ADF＝15°；（3）EF2+FD2＝2AB2，见解析.

【解析】

（1）过B作AP的垂线段，并延长至E，使B、E到AP的垂线段相等，得出B的对称点E，连接BE、DE即可；
（2）连接AE，由轴对称的性质得出∠PAB=∠PAE=30°，AE=AB=AD，得出∠AED=∠ADF，求出∠EAD=150°，即可求出∠ADF的度数；
（3）连接AE、BF、BD，由轴对称的性质得出EF=BF，AE=AB=AD，得出∠ABF=∠AEF=∠ADF，求出∠BFD=∠BAD=90°，根据勾股定理得出BF2+FD2=BD2，即可得出结论．

【解析】
（1）如图1、图2所示：

（2）连接AE，如图3所示：

∵点B关于直线AP的对称点为E，

则∠PAB＝∠PAE＝30°，AE＝AB＝AD，

∴∠AED＝∠ADF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，

∴∠EAD＝90°+30°+30°＝150°，

∴∠ADF＝（180°﹣∠EAD）＝15°；

（3）连接AE、BF、BD，如图4所示：

则EF＝BF，AE＝AB＝AD，

∴∠EBF＝∠BEF，∠ABE＝∠AEB

∴∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，

∴∠BFD＝∠BAD＝90°，

∴BF2+FD2＝BD2，

∵AB2+AD2＝2AB2，EF＝BF，

∴EF2+FD2＝AB2+AD2＝2AB2，

即EF2+FD2＝2AB2．