Question

如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，

（Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD；

（Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据矩形对边平行，有AE∥DC，可知△AFE∽△CFD；

（Ⅱ）根据相似三角形的性质可得，再利用已知线段的长代入即可求出CF的长．

（Ⅰ）∵四边形ABCD是矩形，

∴AE∥DC，

∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC，

∴△AFE∽△CFD，

（Ⅱ）由（1）知△AFE∽△CFD，

∴，

而E是边AB的中点，且AB＝4，AD＝3，

∴AE＝2，AC＝5，

∴，

而AC＝5，

∴AF＝，CF＝，

故CF的长为：．