Question

为鼓励贫困县农民尽快脱贫，某县政府出台了相关扶贫政策，由政策协调，某企业按成本价提供治理风沙的树苗给贫困县农民栽种，其余费用如运输、技术指导等由政府承担，张大爷一家按照相关政策投资栽种这种苗，已知这种树苗的成本价每棵10元(张大爷一家承担)，政府承担其余费用每棵2元，栽种一定时期后外地商贩前来收购，销售量y(棵)与销售价x(元)之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+500．

(1)张大爷一家将销售单价定为20元，那么政府为他承担多少元？

(2)设张大爷一家获得的利润为W(元)，当销售单价定为多少元时，可获得最大利润？

(3)物价部门规定，这种树苗的销售单价不得高于25元，如果张大爷一家想要获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的费用最少为多少元？

Answer

(1)政府为他承担600元；(2)当售价定为30元时，可获最大利润；(3)政府为他承担的费用最少为500元．

【解析】

（1）把x=20代入一次函数y=-10x+500中，得到销售量，再根据政府承担费用=2×销售量，即可得到答案，
（2）根据总利润=每棵利润×销售量，设可获得总利润为W元，列出W关于x的二次函数，利用最值即可得到答案，
（3）根据利润不低于3000元，列出当利润为3000元时的一元二次方程，再根据二次函数的性质结合销售单价不得高于25元，判断x的取值范围，进而判断出y的最小值，即可得到答案．

【解析】
(1)把x＝20代入一次函数y＝﹣10x+500中得：y＝﹣10×20+500＝300(棵)，

2×300＝600元，

答：政府为他承担600元，

(2)设可获得总利润为W元，根据题意，得：

W＝(x﹣10)×(﹣10x+500)＝﹣10(x﹣30)2+4000，

即当售价定为30元时，可获最大利润，

(3)令W＝3000，

即﹣10(x﹣30)2+4000＝3000，

解得：x1＝40，x2＝20，

即20≤x≤40，

又∵x≤25，

∴20≤x≤25，

一次函数：y＝﹣10x+500，y随x的增大而减小，

∴把x＝25代入y＝﹣10x+500，得y最小＝250，

2×250＝500(元)，

答：政府为他承担的费用最少为500元．