Question

已知∠AOB=70°，∠AOD=∠AOC，∠BOD=3∠BOC（∠BOC＜45°），则∠BOC的度数是______．

Answer

10°或14°或30°或42°

【解析】

①当射线OC在∠AOB内部时，此时射线OD的位置只有两种可能：i）若射线OD在∠AOC内部，ii）若射线OD在∠AOB外部，

②当射线OD在∠AOB外部时，i）若射线DO在∠AOB内部，ii）若射线OD在∠AOB外部分别求出即可．

【解析】
设∠BOC=α，

∴∠BOD=3∠BOC=3α，

依据题意，分两种情况：

①当射线OC在∠AOB内部时，此时射线OD的位置只有两种可能：

i）若射线OD在∠AOC内部，如图2，

∴∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=2α，

∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2α+3α=5α=70°，

∴α=14°，

∴∠BOC=14°；

ii）若射线OD在∠AOB外部，如图3，

∴∠COD=∠BOD-∠BOC=2α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=α，

∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-α=α=70°，

∴α=30°，

∴∠BOC=30°；

②当射线OD在∠AOB外部时，

依据题意，此时射线OC靠近射线OB，

∵∠BOC＜45°，∠AOD=∠AOC，

∴射线OD的位置也只有两种可能：

i）若射线DO在∠AOB内部，如图4，

则∠COD=∠BOC+∠BOD=4α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=4α，

∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=4α，

∴AOB=∠BOD+∠AOD=3α+4α=7α=70°，

∴α=10°，

∴∠BOC=10°

ii）若射线OD在∠AOB外部，如图5，

则∠COD=∠BOC+∠DOB=4α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=α，

∴∠AOB=∠BOD-∠AOD=3α-α=α=70°，

∴α=42°，

∴∠BOC=42°，

综上所述：∠BOC的度数分别是10°，14°，30°，42°．

故答案为：10°或14°或30°或42°