Question

如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A₁．

（1）当∠A为70°时，

∵∠ACD-∠ABD=∠______

∴∠ACD-∠ABD=______°

∵BA₁、CA₁是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线

∴∠A₁CD-∠A₁BD=（∠ACD-∠ABD）

∴∠A₁=______°；

（2）∠A₁BC的角平分线与∠A₁CD的角平分线交于A₂，∠A₂BC与A₂CD的平分线交于A₃，如此继续下去可得A₄、…、A_n，请写出∠A与∠A_n的数量关系______；

（3）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D=230度，则∠F=______．

（4）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A₁的值为定值；②∠Q-∠A₁的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．

Answer

（1）∠A；70°；35°；

（2）∠A=2n∠An

（3）25°

（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确，Q+∠A1=180°．

【解析】

试题（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质填空即可；（2）根据（1）的计算可知∠A=2∠A1由此可知∠A=2n∠An；（3）延长BA、CD交于点M，由∠A+∠D=230°可得∠MAD+∠MDA=130°，根据三角形的内角和定理可得∠M=50°，由（2）的方法可得∠F=25°；（4）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出表示出∠Q=180°- ∠A与∠A1= ∠A即可得出结论①是正确的．

试题解析：

（1）∠A；70°；35°；

（2）∠A=2n∠An

(3)25°

（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确．

∵∠ACD﹣∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线

∴∠A1=∠A1CD﹣∠A1BD=∠BAC，

∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分线，

∴∠QEC+∠QCE=（∠AEC+∠ACE）=∠BAC，

∴∠Q=180°﹣（∠QEC+∠QCE）=180°﹣∠BAC，

∴∠Q+∠A1=180°．