Question

如图，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE．

（1）求证：EC平分∠BED．

（2）当EB＝ED时，求证：AE＝CE．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由AB是半圆O的直径，得到∠AEB=90°，求得∠DEB=90°．再根据圆周角定理得出∠BEC＝45°从而推出∠BEC=∠DEC，于是得到结论；
（2）连结BC根据全等三角形的性质得到∠CBE=∠CDE．根据圆周角定理得到∠AOE=∠COE，于是得到AE=CE．

【解析】
（1）∵AB是半圆O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠DEB＝90°．

∵OC⊥AB，

∴∠AOC＝∠BOC＝90°，

∴∠BEC＝45°，

∴∠DEC＝45°．

∴∠BEC＝∠DEC，

即EC平分∠BEC；

（2）连结BC，OE，

∵BE＝DE，∠BEC＝∠DEC，EC＝EC，

在△BEC与△DEC中，，

∴△BEC≌△DEC，

∴∠CBE＝∠CDE．

∵∠CDE＝90°﹣∠A＝∠ABE，

∴∠ABE＝∠CBE．

∵∠AOE=2∠ABE，∠COE＝2∠CBE．

∴∠AOE＝∠COE，

∴AE＝CE．