Question

如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点和，再分别以为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（）

①点到的两边距离相等；

②点在的中垂线上；

③

④

A.  B.  C.  D.

Answer

D

【解析】

①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质即可判断；
②利用角平分线的定义可以推知∠BAD=∠CAD=30°=∠B，利用等角对等边可以证得△ADB是等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；

③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AD=2CD；

④根据含30°角的直角三角形的性质得出AB=2AC，AC=CD，进而可得出结论．

【解析】

根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点D到∠BAC的两边距离相等，故①正确;

如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°，

∴∠CAB=60°.

又∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠2=∠CAB=30°，

∴∠1=∠B，

∴AD=BD，

∴点D在AB的中垂线上，

故②正确；

∵∠2=30°，∠C=90°,

∴AD=2CD，

故③正确；

∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°，

∴ AB=2AC，

在△ACD中,∠C=90°,∠2=30°，

∴AC=CD，

∴AB=2CD，

故④正确。

故选D.