Question

如图，已知等腰三角形是线段上的一点，连结，且有.

（1）若，求的长；

（2）若，求证：.

Answer

（1）3；（2）见解析.

【解析】

（1）设∠C=x，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠D，∠D=∠DAB，结合三角形外角的性质可得∠ABC=∠C，根据∠BAC=90°，可求得∠C=30°，解直角三角形可得AB=1，BC=2，即可求CD的长；

（2）由于 ，设AB=BD=a，所以CD=3a，证明△DAB∽△DCA，则可得 = ，求出AD=AC=a,可得 ，由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠BAC=90°．

【解析】
（1）设，

，

.

，

，

.

，

，

，

∴.

在中，，

，

，

；

（2）设，∵

∴，

，

，

，

，

.

,

，

，

为直角三角形，.

故答案为：（1）3；（2）见解析.