Question

2018年1月19日，中欧（厦门-西安-布达佩斯）班列驶出厦门自贸区海沧火车站，经西安直达匈牙利首都布达佩斯 ，我市与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在厦门采购一批特色商品，经调查，用元采购型商品的件数是用元采购型商品件数的倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多元.

（1）求一件型商品的进价分别为多少元？

（2）若该欧洲客商购进型商品共件进行试销，其中型商品的件数不大于型商品的件数，且不小于件，已知型商品的售价为元/件，型商品的售价为元/件，且全部售出，设购进型商品件.

①求该客商销售这批商品的利润与之间的函数解析式；

②若欧洲商决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，求该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益.

Answer

（1）型商品的进价元，商品的进价为元；

（2）①；

②当时，时利润最大，最大利益为：（）元；

当时，最大利益为：17500元；

当时，时利润最大，最大利益为：（）元.

【解析】

（1））设一件型商品的进价为元，则型商品的进价为元，根据用元采购型商品的件数是用元采购型商品件数的倍，列出方程即可求解；

（2）①根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；

②设捐献资金后获利为元，则，分三种情形讨论即可解决问题．

【解析】
（1）设一件型商品的进价为元，则型商品的进价为元，

，

解得，

经检验是原方程的解，且符合题意，

商品的进价为元，

答：型商品的进价元，商品的进价为元；

（2）①设型商品件，则型商品件，则

，解得，

，

，

②设捐献资金后获利为元，

，

当时，随的增大而增大，

当时利润最大，，

当时，，

当时随的增大而减小，

当时，利润最大，.

故答案为：（1）型商品的进价元，商品的进价为元；

（2）①；

②当时，时利润最大，最大利益为：（）元；

当时，最大利益为：17500元；

当时，时利润最大，最大利益为：（）元.