Question

已知是圆的两条弦，于，连接，过点作，垂足为.

（1）如图1，连接，求证：；

（2）如图2，连接并延长交于点，若平分，求圆的半径和的长.

Answer

（1）见解析；（2）圆O的半径2.5；

【解析】

（1）连接BC，如图，根据已知条件易得∠D=∠ABG，进而利用全等三角形的判定定理证明△BCE≌△BGE，接下来根据全等三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质即可证得结论；

（2）连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，可得，由已知AG=4，可得AM、AC的值，根据勾股定理求出CM，即可得圆O的半径；过点H作HN⊥AB，过点O作OP⊥AB，如图，联系三角函数的知识、角平分线的性质及勾股定理进行推理，即可求出AH的长.

连接，

，

，

.

弧弧，

，

，

，

.

，

，

，

，

；

（2）如图，连接并延长交⨀于，连接，

是圆的直径，

.

弧弧，

，

.

，

，

在中，，

，

，

圆的半径为，

过作于，可得，

.

在中，，

设，则，

平分

.

在中，，

，

在中，，

过作于，则.

，

，

.

故答案为：（1）见解析；（2）圆O的半径2.5；.