Question

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．求证：EF＝2DE．

Answer

（1）见解析；（2）见解析。

【解析】

（1）根据垂直平分线的做法即可画出（2）根据垂直平分线的性质与含30°角的直角三角形的性质即可证明.

【解析】
（1）直线l即为所求．

分别以AB为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．作图正确．

（2）证明：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∠ABC＝60°．

又∵l为线段AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，

∴∠EBA＝∠A＝30°，∠AED＝∠BED＝60°，

∴∠EBC＝30°＝∠EBA，∠FEC＝60°．

又∵ED⊥AB，EC⊥BC，

∴ED＝EC．

在Rt△ECF中，∠FEC＝60°，

∴∠EFC＝30°，

∴EF＝2EC，∴EF＝2ED．