Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD

（1）求证：△ABD≌△BCE．

（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．

（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）△DBC是等腰三角形，见解析.

【解析】

（1）如图，根据垂直关系可得∠1＝∠2，再根据ASA即可证明△BAD≌△CBE；（2）由（1）得AD＝AE，再求得∠6=∠7=45°，即可得证；（3）由垂直平分线的性质知CD＝CE，由（1）得CE＝BD，故△DBC是等腰三角形.

【解析】
（1）如图证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，

∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，

∴∠1＝∠2，

在△BAD和△CBE中，

，

∴△BAD≌△CBE（ASA），

（2）证明：∵E是AB中点，

∴EB＝EA，

∵AD＝BE，

∴AE＝AD，

∵AD∥BC，

∴∠7＝∠ACB＝45°，

∵∠6＝45°，

∴∠6＝∠7，

又∵AD＝AE，

∴AM⊥DE，且EM＝DM，

即AC是线段ED的垂直平分线；

（3）△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．

理由如下：

∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，

∴CD＝BD．

∴△DBC是等腰三角形．